Тригонометрия

Тригонометрия- тригонометриялык функциялардын касиеттерин жана алардын геометриядагы колдонуштарын уйрөтүүчү математиканын бөлүмү. Тригонометрия тегиздиктеги же түз сызыктуу жана сфералык тригонометрияга болунот. Тригонометриянын негизги формулалары синустар теоремасы менен косинустар теоремасында берилет. Мындан башка тангенстер теоремасы да көп колдонулат. Бул теореманы 15-кылымда И.Региомонтан чыгарган. Анын формуласы:

• (a-b)/(a+b)=(tg (A-B)/2)/(tg (A+B)/2);
• (b-c)/(b+c)=(tg (B-C)/2)/(tg (B+C)/2);
• (c-a)/(c+a)=(tg (C-A)/2)/(tg (C+A)/2);

жана 18-кылымдын акыры 19-кылымдын башындагы К.Мольвейде формуласы:

• (a+c)/c=(cos (A-B)/2)/(sin C/2);
• (a-c)/c=(cos (A-B)/2)/(sin C/2);

Формуладагы a,b,c аркылуу үч бурчтуктун жактары А,В,С аркылуу жактарына дал келүүчү карама-каршы бурчтары белгиленет. Косинустар теоремасынан башка үч бурчтуктун алардын жактары аркылуу формула түрүндө төмөнкүдөй туюнтулат:

• tg A/2=√(((p-b)(p-c))/(p(p-a)));
• tg B/2=√(((p-b)(p-c))/(p(p-a)));
• tg C/2=√(((p-b)(p-c))/(p(p-a)));

мында р-үч бурчтуктун жарым периметри. Үч бурчтуктун аянты Герон формуласынан башка да тригонометриянын жардамы менен бир нече ыкмада чыгарылат:

• S=1/2 a∙b∙sin⁡〖 C;
• 〗 S=(a^2 sin⁡〖 B sin⁡〖 C〗 〗)/(2 sin⁡〖(B+C)〗 );
• S=P^2 tg A/2 tg B/2 tg C/2;

Тригонометрия практикалык муктаждыктан пайда болгон. Ал жете алгыс объектиге чейинки аралыкты аныктоо үчүн, географиялык карталарды түзүү үчүн геодезияда кеңири колдонулат. Тригонометриялык илимдин башталышы байыркы заманда пайда болгон. Алгачкы этабында Тригонометриялык астрономия менен тыгыз байланышта өнүккөн жана анын жардамчы бөлүмү катары эсептелген. Байыркы грек илимпозу “хордалардын тригонометриясын” түзгөн, ал улуу астроном Птолемейдин (2-к.) “Альмагестинде”берилген. Птолемей тегеректеги хордалардын арасындагы катышты чыгарган. Ал синустун жарым жана кош бурчтары, эки бурчтун суммасы жана кош бурчтары, эки бурчттун суммасы жана айырмасы үчүн азыркы формулалар сыяктуу эле тең чондукта болгон:

• Sin α/2=√((1-cos⁡α)/2);
• Sin2a=2 sin α cos α, sin=(α±β)=sin⁡〖α cos⁡〖β±sin⁡〖β cos⁡α 〗 〗 〗;

Хордаларды синус менен алмаштырып, индиянын илимпоздору Тригонометриянын өнүгүшүнө зор салым киргизишти. Бул 8-класстарда Жакынкы жана Ортонку Чыгыш өлкөлөрүнүн араб тилиндеги математикасына өттү. Ушул этаптан тартып тригонометория асторономиядан бөлүнүп чыкты. Синустан башка да тригонометриялык функциялар кирди, алардын таблицалары түзүлдү. Тригонометрия түшүнүгүнүн жалпы кабыл алынышы жана тригонометориялыык функциялардын аныктамасы тарыхый өнүгүштүн узак процессинде калыптанды. Акырындык менен жаңы түшүнүктөрдүн кириши, ошондой эле математикалык символдордун алмашылышы жана улам жакшыртылышынын натыйжасында эсептелүүчү маселелерди чыгару учүн тригонометрия азыркы эң ыңгайлуу түрүнө келди 18-кылымдагы Л.Эйлердин эмгектернинен кийин тригонометрия толук калыптанды. Сферадагы үч бурчтуктун жактары менен бурчтарынын арасындагы катыштарды үйрөтүүчү сфералык тригонометрия да бар. Ал сфералык геометриянын бөлүгү, практикалык астрономиянын талабынын негизиндеги тегиздиктеги тгигонометриядан мурда пайда болгон. Тригонометриялык система- функциянын маанилүү ортогоналдык системасынын бири l, cosx, sinx,cosnx, sinnx тригономерия системасы a-π , a+π түрүндөгү каалаган кесиндиде ортогоналдуу, ал эми 1/√π, (cos⁡x)/√π, sinx/√π, cos⁡〖nx 〗/√π, sin⁡nx/√π; функциясы ушул эле кесиндиде ортогоналдуу. Тригонометориялык система 1<ρ<∞ болгондо Lp[-π,π] мейкиндигинде толук жана жабык, 0. эле 2π үзгүлтүксүз С_2 π мейкиндикте мезгилдүү функция. Бул система 1<ρ<∞ болгондо Lp[-π,π] мейкиндигинде базисти пайда кылат. Тригонометрия система боюнча катар торигонометориялык катар теориясында каралат. Тригонометориялык система менен катар комплекстүү тригонометриялык система кеңири колдонулат. Бул системадагы функциялар бири бири менен Эйлер формуласы аркылуу байланышкан. Тригонометриялык теңдеме- белгисиз аргументтүү тригонометриялык функцияга салыштырмалуу алгебралык теңдеме. Тригонометриялык теоңдемени чыгаруу үчүн тригонометориялык функциялардын түрдүү катыштарын пайдалануу менен тригонометориялык теңдемени изилделүүчү аргументтүү тригонометориялык функциянын биринин маанисин аныктоого мүмкүн болгудай түргө өзгөртүлөт. Мындан кийин тригонометориялык теңдеменин тамырлары тескери тригонометриялык функциялардын жардамы менен алынат. Тригонометриялык функция- элементардык функциялардын негизги класстарынын бири, каалагандай α бурчунун функциялары: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс жана косеканс. Белгилениши: Sinx, cosx, tgx, ctgx, secx, cosecx. Чыныгы аргументүү тригонометриялык функцияны аныктоо үчүн борбору координата башталышында жаткан, радиусу бирге барабар болгон айланадан А чекити берилсин. α-абцисса огу менен ОА векторунун арасындагы бурч, ал абцисса огунун оң багытынан тартып эсептелинет. Эгерде эсептөө саат жебесинин багытына карама-каршы багытта жүргүзүлсө, анда бурчтун чоңдугу оң, ал эми саат жебесинин агытындай болсо терс деп алынат, башкача айтканда α-А чекитинин уюлдук бурчу. Эгерде(x_(α ) 〖,y〗_α )– А чектинин тик бурчтуу декарт координатасы делсе , тригонометориялык функциянын синусу жана косинусу sinα=Y_α, cosα=x_αформуласы менен аныкталат. Калган тригонометриялык функциялар төмөнкү формулалар менен аныкталат: tgα=sinα/cosα; ctgα=cosα/sinα; secα=1/cosα; cosec α=1/sin⁡α ; Бардык Тригонометриялык функциялар- мезгилдүү функциялар. Тригонометриялык функциялардын негизги касиеттери: аныктоо областы, маанилеринин көптүгү, тактыгы жана монотондуулук чеги бар.

Колдонулган адабияттар

 Жалпы алгебра энциклопедиясы.