Чексиз логика

Чексиз логика - бул чексиз узун билдирүүлөргө жана/же чексиз узун далилдерге мүмкүндүк берген логика . Концепция 1930-жылдары Зермело тарабынан киргизилген.

Кээ бир чексиз логика биринчи даражадагы стандарттык логикадан башка касиеттерге ээ болушу мүмкүн. Атап айтканда, чексиз логика компакт же толук болбой калышы мүмкүн. Чектүү логикада эквиваленттүү болгон компакттуулук жана толуктук түшүнүктөрү кээде чексиз логикада андай эмес. Ошондуктан чексиз логика үчүн күчтүү компакттуулук жана күчтүү толуктук түшүнүктөрү аныкталат. Бул макала Гильберт тибиндеги чексиз логикага кайрылат, анткени алар кеңири изилденген жана чектүү логиканын эң жөнөкөй кеңейтүүлөрүн түзөт. Бирок булар иштелип чыккан же изилденген жалгыз чексиз логика эмес.

Ω-логика деп аталган белгилүү бир чексиз логиканын толук экендигин эске алуу , континуум гипотезасына жарык чачууга убада берет.

Белгилөө жана тандоо аксиомасы жөнүндө сөз

Чексиз узун формулалары бар тил берилип жаткандыктан, мындай формулаларды ачык жазуу мүмкүн эмес. Бул көйгөйдү чечүү үчүн, катаал айтканда, расмий тилге кирбеген бир катар нотациялык ыңгайлуулуктар колдонулат. $\cdots$ чексиз узун сөз айкашын көрсөтүү үчүн колдонулат. Түшүнүксүз болсо, ырааттуулуктун узундугу кийин белгиленет. Бул белги түшүнүксүз же түшүнүксүз болуп калган жерде, мисалы, суффикс $\bigvee _{\gamma <\delta }{A_{\gamma }}$ Кардиналдуулуктун формулаларынын жыйындысы боюнча чексиз дизъюнкцияны көрсөтүү үчүн колдонулат $\delta$ . Ушул эле белгилөө, мисалы, кванторлорго да колдонулушу мүмкүн $\forall _{\gamma <\delta }{V_{\gamma }:}$ . Бул кванторлордун чексиз ырааттуулугун көрсөтүү үчүн арналган: ар бири үчүн квантор $V_{\gamma }$ кайда $\gamma <\delta$ .

Суффикстердин бардык колдонулушу жана $\cdots$ формалдуу чексиз тилдердин бир бөлүгү эмес.

Тандоо аксиомасы болжолдонот (чексиз логиканы талкуулоодо көп учурда жасалгандай), анткени бул акылга сыярлык бөлүштүрүүчү мыйзамдарга ээ болуу үчүн зарыл.

Гильберт тибиндеги чексиз логикалардын аныктамасы

Биринчи даражадагы чексиз тил L _{α, β}, α регулярдуу, β = 0 же ω ≤ β ≤ α, акыркы логика сыяктуу эле символдордун жыйындысына ээ жана акыркы логиканын формулаларын түзүү үчүн бардык эрежелерди колдоно алат кээ бир кошумчалар:

• Формулалардын жыйындысы берилген $A=\{A_{\gamma }|\gamma <\delta <\alpha \}$ анда $(A_{0}\lor A_{1}\lor \cdots )$ жана $(A_{0}\land A_{1}\land \cdots )$ формулалар болуп саналат. (Ар бир учурда ырааттуулуктун узундугу бар $\delta$ .)
• Өзгөрмөлөрдүн жыйындысы берилген $V=\{V_{\gamma }|\gamma <\delta <\beta \}$ жана формула $A_{0}$ анда $\forall V_{0}:\forall V_{1}\cdots (A_{0})$ жана $\exists V_{0}:\exists V_{1}\cdots (A_{0})$ формулалар болуп саналат. (Ар бир учурда кванторлордун ырааттуулугу узундукка ээ $\delta$ .)

Эркин жана чектелген өзгөрмөлөр түшүнүктөрү чексиз формулаларга бирдей колдонулат. Чектүү логикада болгондой эле, бардык өзгөрмөлөрү байланган формула сүйлөм деп аталат.

Чексиз тилдеги Т теориясы $L_{\alpha ,\beta }$ логикада сүйлөмдөрдүн жыйындысы болуп саналат. Т теориясынын чексиз логикасында далил төмөнкү шарттарга баш ийген билдирүүлөрдүн (мүмкүн чексиз) ырааттуулугу болуп саналат: Ар бир пикир же логикалык аксиома, T элементи болуп саналат, же тыянак эрежеси аркылуу мурунку билдирүүлөрдөн чыгарылат. Мурдагыдай эле, акыркы логикада корутундунун бардык эрежелери кошумча менен бирге колдонулушу мүмкүн:

• Билдирүүлөрдүн жыйындысы берилген $A=\{A_{\gamma }|\gamma <\delta <\alpha \}$ далилде, андан кийин билдирүүдө мурда болгон $\land _{\gamma <\delta }{A_{\gamma }}$ тыянак чыгарууга болот.

Чексиз логикага мүнөздүү логикалык аксиома схемалары төмөндө келтирилген. Глобалдык схема өзгөрмөлөрү: $\delta$ жана $\gamma$ ушундай $0<\delta <\alpha$ .

• $((\land _{\epsilon <\delta }{(A_{\delta }\implies A_{\epsilon })})\implies (A_{\delta }\implies \land _{\epsilon <\delta }{A_{\epsilon }}))$
• Ар бирине $\gamma <\delta$, $((\land _{\epsilon <\delta }{A_{\epsilon }})\implies A_{\gamma })$
• Чангдын бөлүштүрүүчү мыйзамдары (ар бир $\gamma$ ): $(\lor _{\mu <\gamma }{(\land _{\delta <\gamma }{A_{\mu ,\delta }})})$, кайда $\forall \mu \forall \delta \exists \epsilon <\gamma :A_{\mu ,\delta }=A_{\epsilon }$ же $A_{\mu ,\delta }=\neg A_{\epsilon }$, жана $\forall g\in \gamma ^{\gamma }\exists \epsilon <\gamma :\{A_{\epsilon },\neg A_{\epsilon }\}\subseteq \{A_{\mu ,g(\mu )}:\mu <\gamma \}$
• үчүн $\gamma <\alpha$, $((\land _{\mu <\gamma }{(\lor _{\delta <\gamma }{A_{\mu ,\delta }})})\implies (\lor _{\epsilon <\gamma ^{\gamma }}{(\land _{\mu <\gamma }{A_{\mu ,\gamma _{\epsilon }(\mu )})}}))$, кайда $\{\gamma _{\epsilon }:\epsilon <\gamma ^{\gamma }\}$ жакшы заказ болуп саналат $\gamma ^{\gamma }$

Акыркы эки аксиома схемасы тандоо аксиомасын талап кылат, анткени кээ бир топтомдор жакшы иреттелиши керек. Акыркы аксиома схемасы керексиз, анткени Чангдын бөлүштүрүүчү мыйзамдары аны көрсөтүп турат , бирок ал логиканын табигый алсыздыктарына жол берүүнүн табигый жолу катары киргизилген.

Толук, компакттуулук жана күчтүү толуктук

Теория - бул сүйлөмдөрдүн ар кандай жыйындысы. Моделдердеги сөздөрдүн чындыгы рекурсия менен аныкталат жана экөө тең аныкталган акыркы логика үчүн аныктама менен макул болот. Берилген Т теориясына сүйлөм Т теориясынын бардык моделдеринде туура болсо, Т теориясы үчүн жарактуу деп айтылат.

Тилдеги логика $L_{\alpha ,\beta }$ Ар бир моделде жарактуу ар бир S сүйлөмү үчүн S далили бар болсо, толук болот. Эгерде кандайдыр бир T теориясы үчүн Т-да жарактуу ар бир S сүйлөмү үчүн Т - дан Sдын далили бар болсо, анда ал толугу менен толук болот. Чексиз логика толук эмес, толук болушу мүмкүн.

Кардинал $\kappa \neq \omega$ ар бир теория Т үчүн алсыз компакттуу $L_{\kappa ,\kappa }$ көп камтыган $\kappa$ көптөгөн формулалар, эгерде ар бир С $\subseteq$ караганда кардиналдуулуктун Т $\kappa$ модели бар, анда Т модели бар. Кардинал $\kappa \neq \omega$ ар бир теория үчүн T in болгондо күчтүү компакттуу $L_{\kappa ,\kappa }$, өлчөмү боюнча чектөөсүз, эгерде ар бир С $\subseteq$ караганда кардиналдуулуктун Т $\kappa$ модели бар, анда Т модели бар.

Чексиз логикада туюнтулган түшүнүктөр

Көптүктөр теориясынын тилинде төмөнкү жобо негизди билдирет:

$\forall _{\gamma <\omega }{V_{\gamma }:}\neg \land _{\gamma <\omega }{V_{\gamma +}\in V_{\gamma }}.\,$

Фонддун аксиомасынан айырмаланып, бул билдирүү эч кандай стандарттуу эмес чечмелөөгө жол бербейт. Негизделгендик түшүнүгүн жеке билдирүүдө чексиз көп сандык аныктоочуларга жол берген логикада гана туюндуруу мүмкүн. Натыйжада, көптөгөн теориялар, анын ичинде Пиано арифметикасы, акыркы логикада туура аксиоматташтырууга мүмкүн эмес, ылайыктуу чексиз логикада болушу мүмкүн. Башка мисалдарга архимеддик эмес талаалардын жана бурулуусу жок топтордун теориялары кирет.  </link> Бул үч теорияны чексиз сандык аныктоону колдонбостон аныктоого болот; чексиз түйүндөр гана керек.

Эсептелүүчү тилдер үчүн чындык предикаттары аныкталат ${\mathcal {L}}_{\omega _{1},\omega }$ .

Эки чексиз логика толуктугу менен өзгөчөлөнүп турат. Бул логика $L_{\omega ,\omega }$ жана $L_{\omega _{1},\omega }$ . Биринчиси стандарттуу биринчи даражадагы логика, ал эми экинчиси эсептелүүчү өлчөмдөгү билдирүүлөргө гана уруксат берген чексиз логика.

логикасы $L_{\omega ,\omega }$ да катуу толук, компакттуу жана катуу компакттуу.

логикасы $L_{\omega _{1},\omega }$ компакттуу боло албайт, бирок ал толук (жогоруда берилген аксиомалардын астында). Мындан тышкары, ал Крейг интерполяция касиетинин вариантын канааттандырат.

Эгерде логика $L_{\alpha ,\alpha }$ катуу толук (жогоруда берилген аксиомалардын астында) анда $\alpha$ абдан компакттуу (анткени бул логикадагы далилдер колдоно албайт $\alpha$ же берилген аксиомалардын көбү).

Шилтемелер

1. Moore, Gregory H. (1997). "The prehistory of infinitary logic: 1885–1955". In Dalla Chiara, Maria Luisa; Doets, Kees; Mundici, Daniele; van Benthem, Johan. Structures and Norms in Science. Springer-Science+Business Media. pp. 105–123. doi:10.1007/978-94-017-0538-7_7. ISBN 978-94-017-0538-7. 
2. Kanamori, Akihiro (2004). "Zermelo and set theory". The Bulletin of Symbolic Logic 10 (4): 487–553. doi:10.2178/bsl/1102083759. https://math.bu.edu/people/aki/10.pdf. Retrieved 22 August 2023. 
3. Woodin, W. Hugh (2011). "The Continuum Hypothesis, the generic-multiverse of sets, and the Ω Conjecture". In Kennedy, Juliette; Kossak, Roman. Set Theory, Arithmetic, and Foundations of Mathematics: Theorems, Philosophies. Cambridge University Press. pp. 13–42. doi:10.1017/CBO9780511910616.003. ISBN 978-0-511-91061-6. Archived from the original on 2024-03-01. Retrieved 1 March 2024. 
4. Chang, C. C. (1957). "On the representation of α-complete Boolean algebras". Transactions of the American Mathematical Society 85 (1): 208–218. doi:10.1090/S0002-9947-1957-0086792-1. 
5. Elemer E.Rosinger Four departures in Mathematics and Physics (2010).
6. Bennett, David W. (1980). "Junctions". Notre Dame Journal of Formal Logic 21 (1): 111–118. doi:10.1305/ndjfl/1093882943. 
7. JerzyPogonowski Inexpressible longing for the intended model. Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu (10 June 2010).

Булактар

• Karp, Carol R. (1964). Languages with Expressions of Infinite Length. North-Holland Publishing Company. doi:10.1016/S0049-237X(08)70423-3. ISBN 978-0-444-53401-9. 
• Barwise, Jon (1969). Infinitary logic and admissible sets. doi:10.2307/2271099.