Эсептөөлөр системасы

500до канча ондук бар

• Киришүү
• Эсептөөлөр системасы
• Ар кандай эсептөө системаларынын өнүгүү тарыхы
• Позициялык жана позициялык эмес эсептөө системалары
• Позициялык эмес эсептөө системасы
• Позициялык эсептөө системасы
• Ондук эсептөө системасы жана анын келип чыгышы
• Негиздери айырмалуу болгон эсептөө системалары жана алардын колдонулушу
• Экилик эсептөө системаларындагы арифметикалык амалдар
• Нуракбар Биринчи эсептөө системасынан башка эсептөө системасына которуу
• Эсептөө системаларынын компьютерде жана информациялык технологиялардагы колдонулушу
• Информацияны компьютерде бинардык коддоосу
• Сандардын компьютерде көрүнүшү
• Экилик кодтордун түзүү ыкмалары
  

Киришүү:
Заманбап кишинин азыркы жашоосунда сан жана цифралар дайыма кезигет. Тааныштарынын телефон номерлерин жаттоодо, магазинде бааларды үйрөнүүдө, доллардык курсту сомго алмаштырууда. Мектептеги жөнөкөй мисалдарды кагазга эсептөөдөн баштап, суперкомпьютердеги эсептөөлөрдө колдоно турган ар кандай эсептөө системалары бар. Кызыгы болсо, адамзат 2 миң жыл мурун саноону билчүбү? А беш миң жыл мурунчу?
Тарыхчылардын айтуусу боюнча беш миң жыл мурун адамдар сандарды жазууда, алар менен амалдарды аткарууда бизге караганда башка ыкма жана сандарды бөлөкчө түрдө жазышчу экен. Кандай гана болбосун, бир санды белгилүү бир символ менен көрсөтушчү. Математикада жана информатикада сандарды көрсөтүү үчүн колдонулган символдорду цифра деп аталат. Ал эми бөлчөк, терс, рационалдык сандары күчтүү эсептөөлөрдүн муктаждыгынан келип чыгат.
Сандарды эсептөө математиканын жана информатиканын фундаменти болуп эсептелет. Ал эми эсептөө системасы деген эмне? Бул суроого төмөнкү материалдардын жардамы менен жооп алабыз.

Эсептөөлөр системасы

Ар кандай эсептөө системаларынын өнүгүү тарыхыБайыркы адамдарга саноонун андай деле керек эмес болчу. “Бир”, “Эки” жана “Көп” – ушул метод менен эле санашчу. Ал эми азыркы учурда кадам сайын саноо менен күнүбүз өтүүдө. Кандайдыр бир сандар менен амалдарды аткарууда так жана туура жыйынтык алуу үчүн цифралар жардам берет. Эгерде сандын өзүн белилөө үчүн аты бар болсо, аны жазууда убакыт көп талап кылат жана бир топ ыңгайсыз жаратмак. Бул учурда бизге белгилөө системасынын же болбосо эсептөө системасынын пайдасы тийет. Эсептөө системасы – бул натуралдык сандарды атоо, белгилөө ыкмасы жана алардын үстүндө аткарыла турган амалдардын эрежеси. Негизи дүйнө жүзү боюнча эсептөө тилин алфавити катары 0 дөн 9 га чейинки цифралар колдунулат. Ушул ссимволдордун жардамы менен эсептөөдө керектелген сандарды жаза алабыз. Бул алфавит ондук эсептөө системасы деп аталат. Бирок адамдар дайыма эле ондук система менен амал аткарган эмес. Азыркы учурда ондук системага конкурент катары экилик эсептөө системасы саналып келүүдө. Себеби адамадар эсептөөлөрдү электрондук эсептөө машинасында жүргүзүүнү “артык” көрүшөт.
Байыркы заманга кайрылсак, Каттарда эч кандай тамгалар жазылчу эмес, ар бир амал, ар бир кыймыл, ар бир маалымат кандайдыр бир сүрөт менен жеткизилчү. Убакыттын өтүшү менен сүрөттөр жөнөкөйлөтүлүп отуруп, символдорго айланган жана алардан иероглифтер келип чыккан. Ар бир иероглиф биз үндү же тыбышты билдирбей, кандайдыр бир сөздү билдирет. Кээ бир өлкөлөрдө азыркы күнгө чейин иероглифтерди сакталып, колдонулуп келүүдө. Мисалы, Япония жана Кытай өлкөлөрүндө иероглифтер менен маалыматты чагылтырат. Вавилондо болсо сандарды ылайга таяктарды жармаштырып, аларды өртөөдөн кирпич сымал пайда болгон катуу таякчалар менен эсептөөнү билдирген. Ар бир сан өзүнө тиешелүү комбинация менен таякчалардан куралат. Жыйынтыгында бекем документтер катары жаралган, жана Месопотами (азыркы Ирак) жерлеринде казып алууда табылган. Тарыхий булактарга караганда Индустатар уч миң жыл мурун азыркы нөмерлөөнү пайдалана баштаган. Алардын эстеликтеринде 100000 санынан чоң сандар кездешкен эмес, жана алардын оюу боюнча “кандайдыр бир сандан кийинки сандардын аттарын кудайдар гана билишет” деп ойлошкон. Чындыгында натуралдык сандардын чеги жок, жана уланып чексизге чейин барат. Сандардын чексиз болгондугун байыркы гректердин окумуштулары атап кетишкен.

Позициялык жана позициялык эмес эсептөө системалары

Эсептөө системасы (белгилөө) – бул сандарды кандайдыр бир алфавит менен (цифралар менен) көрсөтүү болуп эсептелинет
Убакыттын өтүшү менен эсептөө системасынын өнүгүшүндө бир нече эсептөө системасы пайда болгон. Жана аларды эки түрдө ажыратып кароого болот. Алар : позициялык жана позициялык эмес эсептөө системасы.

Позициялык эмес эсептөө системалары

Эң байыркы нөмерлөөдө бир гана “|” символ колдонгон. Ал “бир” дегенди түшүндүргөн жана “эки” санын алыш үчүн кайра “|” символун артына кошуп коюу керектелген. Бул менен чоңдогон сандарды жазуу бир кыйла ыңгайсыз болгон.
Мектептерде да башталгыч класста окуган балдарга таякчаларды берип эсептөөлөрдү түшүндүрөт.
Так мисал келтире кетсек, римдик нөмерлөө болуп эсептелет. Ал эсептөө системанын негиздери болуп “I” – бир, “V” – беш, “X”- он, “L”- элүү, “С”- жүз, “D”- беш жүз, “М”- миң болуп эсептелет. Алгоритмдеги баардык сандар эки арифметикалык операция менен ишке ашырылат. Булар – кошуу жана кемитүү. Мисал катары көрсөтө кетсек : VI – алты (5+1=6); IV – беш (5-1=4); XC – токсон (100-10=90); 1704 – MOCCIV ; 193 – XCXIII; 687 – DCLXXXII;
Эсептөө системаларда бир гана кошуу жана кемитүү колдоно берилбейт. Мисалы эски кытай эсептөө системасында 20 жана 30 санын көрсөтүү үчүн 2 , 10 жана 3 , 10 керектелген. 1 , 10 жана 100 сандары өзгөчө жардамчы сандар болушчу. 528 санын алуу үчүн 5,100,2,10,8 деп жазуу керектелген.
Позициялык эмес эсептөө системаларынын эң ыңгайлуусу алфавиттик эсептөө системасы болуп саналат. Мисалы катары байыркы Грек системасы, славяндык, еврейдик, грузиндик жана армяндык эсептөө системалары.
Гректердин эсептөө системасына кайрыла турган болсок, 1 ден 9 га чейинки сандарды өздөрүнүн алфавитиндеки тамгаларын ирээти менен жайгаштырган. Ал эми сандарды сөздөрдөн айырмалаш үчүн сандардын үстүнө сызыкча коюп жазышкан. Мисалы 543 санын – φμγ (φ-5,μ-4,γ-3) деп жазышкан.А римдик эсептөө системасында бул DXLIII, египеттик эсептөөдө - ρρρρρ nnnIII.
Жөнөкөй жана ыңгайлуу болуп позициялык эсептөө системасы саналып келет.

Позициялык эсептөө системасы

Позициялык эсептөө системы – бул ошол эле сандардын белгилөө ыкмасы, бирок керектелген символдор жөнөкөй жана позициясына жараша чоңдугу аныкталат. Мисал катары ондук эсептөө системасын алалы. Негизи 10 символ түзөт. Алар 0 дөн 9 га чейинки цифра. Ошол эле 543 санын ала турган болсок, биринчиде турган 5 саны 500 дегенди түшүндүрөт. Ошондо 543 = 500+40+3. Демек позициясына жараша мааниси өзгөрөт. Түшүнүктүү болсун үчүн дагы бир мисал келтире кетсек, бул 777 саны. Биринчи кезекте турган саны акыркы кезекте турган санга барабар эмес. Биринчи 7 бул 700 дегенди түшүндүрөт. Экинчидеги 7 бул 70 ти түшүндүрсө үчүнчүдөгү 7 бул жөн эле жети. 700 + 70 + 7. Бул көрүнүштү көп мүчө түрдө жалпы формула катары жазып алсак. Анда X_s=A_n ·S^(n-1) + A_(n-1) · S^(n-2) + A_(n-2) ·S^(n-3)+...+ A_2· S^1 + A_1 · S^0
S –эсептөө системанын негизи, А – сандын цифрасы, n – разрядынын саны
Мисалы 629310 саны көп мүчө түрүндө жазсак, төмөнкү көрүнүштү алабыз:
629310=6·10^3 + 2·10^2 + 9·10^1 + 3·10^0

Ондук эсептөө системасы жана анын келип чыгышы

Элестетeйли, бизге бир нече окшош таякчаларды эсептеп бергиле деп берилди. Ондон-ондон кылып бөлүп, ашып калганын ошол бойдон калтырып, ондон кылып бөлгөн топту санап, аны 10 го көбөйтүп, ашып калган таякчаны кошуп коюуу бир канча ыңгайлуу. Эгерде онго бөлгөн тобубуз көп чыгып калса, анда дагы 10 дон кылып дагы бир топ жаратып алганыбыз жеңилирээк келет. Ушундан улам биздин идеябыз ондук эсептөө системасына келип такалат. Жөнөкөй көрүнгөнү менен, бул ондук системасынын тарыхы эскиден бери келип чыгат. Ошондой эле анын жаралуусунда көптөгөн элдин ролдору бар. Эмне үчүн таякчаларды 10 го бөлүп топторго ажыраттык? Эмне үчүн 5 бөлбөдүк, же болбосо 6 га эмес? Деген суроолор жаралышы мүмкүн. Мунун жообу да жөнөкөй жана кеңири таралган. Адамдардын муктаждыгынан пайда болгон эсептөөлөр алардын манжаларынын жардамында ишке ашырылган. Эгерде адамда 12 манжа болгондо, анда он экилик эсептөө система болуп калуусу толук ыктымал. Ондук эсептөө системасы индустар тарабынан негизделген, ал эми Европага таралуусу арабтардын тарабынан, VIII кылымда Испанияга кол салуусу менен кошо алып келинген. Ушундан улам араб цифралары деп аталып, позициялык эмес эсептөө системага караганда жөнөкөйлүгү жана ыңгайлуулугундан улам Европага тез тарай баштаган. Азыркы күнгө чейин ал цифраларды “араб цифралары” деп атап келүүдө. Бир канча миң жылга карабастан ал цифралар анча деле өзгөргөн жок. Разрядтарга көңүл бура турган болсок, “миллион” сөзүнүн келип чыгышы XVI кылымга келип такалат. Бул сөздү белгилүү саякатчы жана тарыхчы Марко Поло тарабынан киргизилген. Миң саны жетишпегенден, миң-миң деп айткысы келген Марко Поло :”Миллион” деп атаган экен. Ал эми миллиондон чоң разрядтагы сандарды куроо үчүн латын сандары жардамга келет. Алар : Биллион, Триллион, Миллиард, Триллиард. Бирок өтө чоң сандарга жаңы ат ойлоп табууга эч кажети жок. Даража деген математикалык түшүнүктүн жардамы менен: Жердин массасы 6 000 000 000 000 000 000 000 тонна дегендин ордуна 6 * 〖10〗^21 тонна деп белгилөө жеңил болуп эсептелинет. Ошентип сандарды белгилөөдө биз позициялык ондук эсептөө системасын колдонобуз. Позициялык – себеби цифралардын турган позициясына жараша мааниге ээ, ондук эсептөө – себеби кандайдыр бир санда оң жагында турган сан сол жактагыдан 10 эсе чоң, жана өтө чоң сандарды колдонууда математикалык түшүнүк – даража киргизилген. Бул эсептөө системасы оригиналдуу жана жөнөкөй болуп саналат.

Негиздери айырмалуу болгон эсептөө системалары жана алардын колдонулушу

Ондук эсептөө системасынан башка каалаган негиздеги позициялык эсептөө системасы болушу мүмкүн.
Сегиздик эсептөө системасы – позициялык негизи 8 болгон эсептөө системасы болуп саналат. Аларды белгилөө үчүн кадимки араб цифралары 0 дөн 7 ге чейин. Бул сегиздик эсептөө системы дээрлик санариптик тармакта колдонулат. Экилик эсептөө системасынан сегиздикке которуу жеңил болгондуктан киргизилген. Тарыхта кеңири колдонулган убакты 1950-1970 жылдары болуп эсептелинет. Азыркы учурда заманбап санариптик жабдыктарды он алтылык эсептөө системасын негизинде колдонулууда.
Алтымыштык эсептөө системасы мурдатан бери бар болчу, жана ал Байыркы Вавилондо пайда болгон. Анын кандай жол же болбосо кандай муктаждык менен пайда болду деген суроого тарыхчылардын айтуусунда эки гипотеза менен чектелет. Биринчиси эки уруунун биригүүсүнөн келип чыгат. Бир уруусу алтылык эсептөө системасын колдонушса, экинчи уруу болсо ондук эсептөө системасын колдонушкан, жана кошулуунун натыйжасында алтымыштык келип чыккан деп айтылса, экинчи гипотезага таянсак: Вавилондуктар бир жылда 360 күн бар жана бир жылда 6 мезгил бар, ал эми бир мезгил 60 күндөн турат деп ойлошкон. Бирок бул гипотезаларды так деп айтууга мүмкүн эмес. Азыркы учурда алтымыштык эсептөө системасын эч бир жерде колдонулбайт.
Жыйырмалык эсептөө системасы байыркы ацтек жана майя урууларына тиешелүү. Бул эсептөө системасы менен Америка континентинин көптөгөн областарына таралган. Жок болуп кетүүсүнүн себеби Испандыктардын XVI-XVII кылымда кол салуусуна туш келет. Негизи 20 цифрадан турган. Анын келип чыгуусу ондук эсептөө системасына дал келет, бир гана айырмасы, саноодо буттарынын да манжасын кошуп санашчу экен.
Он алтылык эсептөө системасы азыркы учурда эң өнүккөн жана жөнөкөйлүгү менен биринчи оорунда турат. Колдонулушунда замабап санариптик жабдыктарды өйлөп табууда колдонулат. Анын негизин өзүбүз билип тургандай эле 15 символдон куралат. Алар : 0 дөн 9 га чейин цифралар жана 10 дон баштап 15 ччейинки сандарды Англисче А тамгасынан F тамгасына чейин. Мисалы 14 – Е

Колдонулган адабияттар

• 1. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для студентов-заочников II курса физ.-мат. фак. пед. ин-тов (Н.А.Казачёк и др.) / Под ред. Н.Я. Виленкина - 2-е изд. М.: Просвещение, 1984. - 192 с.
• 2. Бендукидзе А.Д. О системах счисления // Квант - 1975 - №8 - с 59-61.
• 3.Берман Г.Н. Число и наука о нем. Общедоступные очерки по арифметики натуральных чисел. Изд. 3-е. М.: Физматгиз, 1960. - 164с.
• 4. Вайман А.А. Шумеро-вавилонская математика. III - I тысячелетия до н.э. М.: Изд. вост. лит., 1961. - 278с.
• 5. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. Изд. 2-е, испр. идоп. М.: Наука, 1967. - 367 с.
• 6. Глейзер Г.И. История арифметике в школе Archived 2017-12-04 at the Wayback Machine: IV - VI кл. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981. - 239 с.
• 7. Гутер Р.С. Вычислительные машины и системы счисления // Квант-1971 -№2.
• 8. Депман И.Я. История арифметики, пособие для учителей. М.: Учпедгиз, 1959.-423с.
• 9. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк. М.: Просвещение, 1989. -287с.
• 10. Детская энциклопедия: [В 10-ти т.] Для среднего и старшего возраста. Гл.ред. Маркушевич А.И. Т.2. - Мир небесных тел; Числа и фигуры. -М.: Педагогика, 1972. - 480 с.
• 11. И. Дышинский Е.А. Игротека математического кружка. М.: Просвещение, 1972. - 144