Эсептөө тутуму

Киришүү:

• Эсептоо системасы
• 800-м=13*25

•  Ар кандай эсептөө системаларынын өнүгүү тарыхы
• Позициялык жана позициялык эмес эсептөө системалары
• Нуракбар Позициялык эмес эсептөө системасы
• Позициялык эсептөө системасы
• Ондук эсептөө системасы жана анын келип чыгышы
• Негиздери айырмалуу болгон эсептөө системалары жана алардын колдонулушу
• Экилик эсептөө системаларындагы арифметикалык амалдар
• Биринчи эсептөө системасынан башка эсептөө системасына которуу
• Эсептөө системаларынын компьютерде жана информациялык технологиялардагы колдонулушу
• Информацияны компьютерде бинардык коддоосу
• Сандардын компьютерде көрүнүшү
• Экилик кодтордун түзүү ыкмалары
• Биринчи эсептөө системасынан башка эсептөө системасына которуу 
• Эсептөө системаларынын компьютерде жана информациялык технологиялардагы колдонулушу
• Информацияны компьютерде бинардык коддоосу
• Сандардын компьютерде көрүнүшү
• Экилик кодтордун түзүү ыкмалары
• Жыйынтыктоо

Эсептөөлөр системасы

Киришүү

Заманбап кишинин азыркы жашоосунда сан жана цифралар дайыма кезигет. Тааныштарынын телефон номерлерин жаттоодо, магазинде бааларды үйрөнүүдө, доллардык курсту сомго алмаштырууда. Мектептеги жөнөкөй мисалдарды кагазга эсептөөдөн баштап, суперкомпьютердеги эсептөөлөрдө колдоно турган ар кандай эсептөө системалары бар. Кызыгы болсо, адамзат 2 миң жыл мурун саноону билчүбү? А беш миң жыл мурунчу? Тарыхчылардын айтуусу боюнча беш миң жыл мурун адамдар сандарды жазууда, алар менен амалдарды аткарууда бизге караганда башка ыкма жана сандарды бөлөкчө түрдө жазышчу экен. Кандай гана болбосун, бир санды белгилүү бир символ менен көрсөтушчү. Математикада жана информатикада сандарды көрсөтүү үчүн колдонулган символдорду цифра деп аталат. Ал эми бөлчөк, терс, рационалдык сандары күчтүү эсептөөлөрдүн муктаждыгынан келип чыгат. Сандарды эсептөө математиканын жана информатиканын фундаменти болуп эсептелет. Ал эми эсептөө системасы деген эмне? Бул суроого төмөнкү материалдардын жардамы менен жооп алабыз.
Эсептөөлөр системасы − 110

Ар кандай эсептөө системаларынын өнүгүү тарыхы

Байыркы адамдарга саноонун андай деле керек эмес болчу. “Бир”, “Эки” жана “Көп” – ушул метод менен эле санашчу. Ал эми азыркы учурда кадам сайын саноо менен күнүбүз өтүүдө. Кандайдыр бир сандар менен амалдарды аткарууда так жана туура жыйынтык алуу үчүн цифралар жардам берет. Эгерде сандын өзүн белилөө үчүн аты бар болсо, аны жазууда убакыт көп талап кылат жана бир топ ыңгайсыз жаратмак. Бул учурда бизге белгилөө системасынын же болбосо эсептөө системасынын пайдасы тийет. Эсептөө системасы – бул натуралдык сандарды атоо, белгилөө ыкмасы жана алардын үстүндө аткарыла турган амалдардын эрежеси. Негизи дүйнө жүзү боюнча эсептөө тилин алфавити катары 0 дөн 9 га чейинки цифралар колдунулат. Ушул ссимволдордун жардамы менен эсептөөдө керектелген сандарды жаза алабыз. Бул алфавит ондук эсептөө системасы деп аталат. Бирок адамдар дайыма эле ондук система менен амал аткарган эмес. Азыркы учурда ондук системага конкурент катары экилик эсептөө системасы саналып келүүдө. Себеби адамадар эсептөөлөрдү электрондук эсептөө машинасында жүргүзүүнү “артык” көрүшөт. Байыркы заманга кайрылсак, Каттарда эч кандай тамгалар жазылчу эмес, ар бир амал, ар бир кыймыл, ар бир маалымат кандайдыр бир сүрөт менен жеткизилчү. Убакыттын өтүшү менен сүрөттөр жөнөкөйлөтүлүп отуруп, символдорго айланган жана алардан иероглифтер келип чыккан. Ар бир иероглиф биз үндү же тыбышты билдирбей, кандайдыр бир сөздү билдирет. Кээ бир өлкөлөрдө азыркы күнгө чейин иероглифтерди сакталып, колдонулуп келүүдө. Мисалы, Япония жана Кытай өлкөлөрүндө иероглифтер менен маалыматты чагылтырат. Вавилондо болсо сандарды ылайга таяктарды жармаштырып, аларды өртөөдөн кирпич сымал пайда болгон катуу таякчалар менен эсептөөнү билдирген. Ар бир сан өзүнө тиешелүү комбинация менен таякчалардан куралат. Жыйынтыгында бекем документтер катары жаралган, жана Месопотами (азыркы Ирак) жерлеринде казып алууда табылган. Тарыхий булактарга караганда Индустатар уч миң жыл мурун азыркы нөмерлөөнү пайдалана баштаган. Алардын эстеликтеринде 100000 санынан чоң сандар кездешкен эмес, жана алардын оюу боюнча “кандайдыр бир сандан кийинки сандардын аттарын кудайдар гана билишет” деп ойлошкон. Чындыгында натуралдык сандардын чеги жок, жана уланып чексизге чейин барат. Сандардын чексиз болгондугун байыркы гректердин окумуштулары атап кетишкен.

Позициялык жана позициялык эмес эсептөө системалары

Эсептөө системасы (белгилөө) – бул сандарды кандайдыр бир алфавит менен (цифралар менен) көрсөтүү болуп эсептелинет Убакыттын өтүшү менен эсептөө системасынын өнүгүшүндө бир нече эсептөө системасы пайда болгон. Жана аларды эки түрдө ажыратып кароого болот. Алар : позициялык жана позициялык эмес эсептөө системасы.

Позициялык эмес эсептөө системалары

Эң байыркы нөмерлөөдө бир гана “|” символ колдонгон. Ал “бир” дегенди түшүндүргөн жана “эки” санын алыш үчүн кайра “|” символун артына кошуп коюу керектелген. Бул менен чоңдогон сандарды жазуу бир кыйла ыңгайсыз болгон. Мектептерде да башталгыч класста окуган балдарга таякчаларды берип эсептөөлөрдү түшүндүрөт. Так мисал келтире кетсек, римдик нөмерлөө болуп эсептелет. Ал эсептөө системанын негиздери болуп “I” – бир, “V” – беш, “X”- он, “L”- элүү, “С”- жүз, “D”- беш жүз, “М”- миң болуп эсептелет. Алгоритмдеги баардык сандар эки арифметикалык операция менен ишке ашырылат. Булар – кошуу жана кемитүү. Мисал катары көрсөтө кетсек : VI – алты (5+1=6); IV – беш (5-1=4); XC – токсон (100-10=90); 1704 – MOCCIV ; 193 – XCXIII; 687 – DCLXXXII; Эсептөө системаларда бир гана кошуу жана кемитүү колдоно берилбейт. Мисалы эски кытай эсептөө системасында 20 жана 30 санын көрсөтүү үчүн 2 , 10 жана 3 , 10 керектелген. 1 , 10 жана 100 сандары өзгөчө жардамчы сандар болушчу. 528 санын алуу үчүн 5,100,2,10,8 деп жазуу керектелген. Позициялык эмес эсептөө системаларынын эң ыңгайлуусу алфавиттик эсептөө системасы болуп саналат. Мисалы катары байыркы Грек системасы, славяндык, еврейдик, грузиндик жана армяндык эсептөө системалары. Гректердин эсептөө системасына кайрыла турган болсок, 1 ден 9 га чейинки сандарды өздөрүнүн алфавитиндеки тамгаларын ирээти менен жайгаштырган. Ал эми сандарды сөздөрдөн айырмалаш үчүн сандардын үстүнө сызыкча коюп жазышкан. Мисалы 543 санын – φμγ (φ-5,μ-4,γ-3) деп жазышкан.А римдик эсептөө системасында бул DXLIII, египеттик эсептөөдө - ρρρρρ nnnIII. Жөнөкөй жана ыңгайлуу болуп позициялык эсептөө системасы саналып келет.

Позициялык эсептөө системасы

Позициялык эсептөө системы – бул ошол эле сандардын белгилөө ыкмасы, бирок керектелген символдор жөнөкөй жана позициясына жараша чоңдугу аныкталат. Мисал катары ондук эсептөө системасын алалы. Негизи 10 символ түзөт. Алар 0 дөн 9 га чейинки цифра. Ошол эле 543 санын ала турган болсок, биринчиде турган 5 саны 500 дегенди түшүндүрөт. Ошондо 543 = 500+40+3. Демек позициясына жараша мааниси өзгөрөт. Түшүнүктүү болсун үчүн дагы бир мисал келтире кетсек, бул 777 саны. Биринчи кезекте турган саны акыркы кезекте турган санга барабар эмес. Биринчи 7 бул 700 дегенди түшүндүрөт. Экинчидеги 7 бул 70 ти түшүндүрсө үчүнчүдөгү 7 бул жөн эле жети. 700 + 70 + 7. Бул көрүнүштү көп мүчө түрдө жалпы формула катары жазып алсак. Анда X_s=A_n ·S^(n-1) + A_(n-1) · S^(n-2) + A_(n-2) ·S^(n-3)+...+ A_2· S^1 + A_1 · S^0 S –эсептөө системанын негизи, А – сандын цифрасы, n – разрядынын саны Мисалы 629310 саны көп мүчө түрүндө жазсак, төмөнкү көрүнүштү алабыз: 629310=6·10^3 + 2·10^2 + 9·10^1 + 3·10^0

Ондук эсептөө системасы жана анын келип чыгышы

Элестетeйли, бизге бир нече окшош таякчаларды эсептеп бергиле деп берилди. Ондон-ондон кылып бөлүп, ашып калганын ошол бойдон калтырып, ондон кылып бөлгөн топту санап, аны 10 го көбөйтүп, ашып калган таякчаны кошуп коюуу бир канча ыңгайлуу. Эгерде онго бөлгөн тобубуз көп чыгып калса, анда дагы 10 дон кылып дагы бир топ жаратып алганыбыз жеңилирээк келет. Ушундан улам биздин идеябыз ондук эсептөө системасына келип такалат. Жөнөкөй көрүнгөнү менен, бул ондук системасынын тарыхы эскиден бери келип чыгат. Ошондой эле анын жаралуусунда көптөгөн элдин ролдору бар. Эмне үчүн таякчаларды 10 го бөлүп топторго ажыраттык? Эмне үчүн 5 бөлбөдүк, же болбосо 6 га эмес? Деген суроолор жаралышы мүмкүн. Мунун жообу да жөнөкөй жана кеңири таралган. Адамдардын муктаждыгынан пайда болгон эсептөөлөр алардын манжаларынын жардамында ишке ашырылган. Эгерде адамда 12 манжа болгондо, анда он экилик эсептөө система болуп калуусу толук ыктымал. Ондук эсептөө системасы индустар тарабынан негизделген, ал эми Европага таралуусу арабтардын тарабынан, VIII кылымда Испанияга кол салуусу менен кошо алып келинген. Ушундан улам араб цифралары деп аталып, позициялык эмес эсептөө системага караганда жөнөкөйлүгү жана ыңгайлуулугундан улам Европага тез тарай баштаган. Азыркы күнгө чейин ал цифраларды “араб цифралары” деп атап келүүдө. Бир канча миң жылга карабастан ал цифралар анча деле өзгөргөн жок. Разрядтарга көңүл бура турган болсок, “миллион” сөзүнүн келип чыгышы XVI кылымга келип такалат. Бул сөздү белгилүү саякатчы жана тарыхчы Марко Поло тарабынан киргизилген. Миң саны жетишпегенден, миң-миң деп айткысы келген Марко Поло :”Миллион” деп атаган экен. Ал эми миллиондон чоң разрядтагы сандарды куроо үчүн латын сандары жардамга келет. Алар : Биллион, Триллион, Миллиард, Триллиард. Бирок өтө чоң сандарга жаңы ат ойлоп табууга эч кажети жок. Даража деген математикалык түшүнүктүн жардамы менен: Жердин массасы 6 000 000 000 000 000 000 000 тонна дегендин ордуна 6 * 〖10〗^21 тонна деп белгилөө жеңил болуп эсептелинет. Ошентип сандарды белгилөөдө биз позициялык ондук эсептөө системасын колдонобуз. Позициялык – себеби цифралардын турган позициясына жараша мааниге ээ, ондук эсептөө – себеби кандайдыр бир санда оң жагында турган сан сол жактагыдан 10 эсе чоң, жана өтө чоң сандарды колдонууда математикалык түшүнүк – даража киргизилген. Бул эсептөө системасы оригиналдуу жана жөнөкөй болуп саналат.

Негиздери айырмалуу болгон эсептөө системалары жана алардын колдонулушу

Ондук эсептөө системасынан башка каалаган негиздеги позициялык эсептөө системасы болушу мүмкүн. Сегиздик эсептөө системасы – позициялык негизи 8 болгон эсептөө системасы болуп саналат. Аларды белгилөө үчүн кадимки араб цифралары 0 дөн 7 ге чейин. Бул сегиздик эсептөө системы дээрлик санариптик тармакта колдонулат. Экилик эсептөө системасынан сегиздикке которуу жеңил болгондуктан киргизилген. Тарыхта кеңири колдонулган убакты 1950-1970 жылдары болуп эсептелинет. Азыркы учурда заманбап санариптик жабдыктарды он алтылык эсептөө системасын негизинде колдонулууда. Алтымыштык эсептөө системасы мурдатан бери бар болчу, жана ал Байыркы Вавилондо пайда болгон. Анын кандай жол же болбосо кандай муктаждык менен пайда болду деген суроого тарыхчылардын айтуусунда эки гипотеза менен чектелет. Биринчиси эки уруунун биригүүсүнөн келип чыгат. Бир уруусу алтылык эсептөө системасын колдонушса, экинчи уруу болсо ондук эсептөө системасын колдонушкан, жана кошулуунун натыйжасында алтымыштык келип чыккан деп айтылса, экинчи гипотезага таянсак: Вавилондуктар бир жылда 360 күн бар жана бир жылда 6 мезгил бар, ал эми бир мезгил 60 күндөн турат деп ойлошкон. Бирок бул гипотезаларды так деп айтууга мүмкүн эмес. Азыркы учурда алтымыштык эсептөө системасын эч бир жерде колдонулбайт. Жыйырмалык эсептөө системасы байыркы ацтек жана майя урууларына тиешелүү. Бул эсептөө системасы менен Америка континентинин көптөгөн областарына таралган. Жок болуп кетүүсүнүн себеби Испандыктардын XVI-XVII кылымда кол салуусуна туш келет. Негизи 20 цифрадан турган. Анын келип чыгуусу ондук эсептөө системасына дал келет, бир гана айырмасы, саноодо буттарынын да манжасын кошуп санашчу экен. Он алтылык эсептөө системасы азыркы учурда эң өнүккөн жана жөнөкөйлүгү менен биринчи оорунда турат. Колдонулушунда замабап санариптик жабдыктарды өйлөп табууда колдонулат. Анын негизин өзүбүз билип тургандай эле 15 символдон куралат. Алар : 0 дөн 9 га чейин цифралар жана 10 дон баштап 15 ччейинки сандарды Англисче А тамгасынан F тамгасына чейин. Мисалы 14 – Е

Экилик эсептөө системаларындагы арифметикалык амалдар

Экилик система деп аталганы себеби белгилүү болуп калды болуш керек. Негизи 2 гана цифрадан турат жана алар 0 жана 1 цифралары. Бул эсептөө системасы компьютерлердин жана информациялык тхнологиялардын негизги тили деп атап койсок жаңылган болбойбуз. Башкача айтканда компьютер 0 дегенди ток жок, 1 дегенди ток бар деп түшүнөт. Ушул 0 жана 1 коду менен компьютердин мээсинде баардык операция аткарылат. Ал эми сегиздик жана он алтылык бул экилик системанын жакшыртылган түрү болуп эсептелет.

Эми экилик эсептөө системасында эсептөөнү жүргүзүп көрөлү:

0– нөл,

1 – бир,

10 – эки,

11 – үч,

100 – төрт,

101 – беш,

110 – алты,

111 – жети жана ушинтип уланып кете берет.

Экилик эсептөө системасында арифметикалык амалдар төмөнкүчө аткарылат.

Кошуу	Кемитүү	Көбөйтүү	Бөлүү
0 + 0 = 0 ;  0 + 1 = 1 ;  1 + 0 = 0 ;  1 + 1 = 10 ;	0 – 0 = 0 ;  1 – 0 = 1 ;  1 – 1 = 0 ;  10 – 1 = 1 ;	0 * 1 = 0 ; 1 * 1 = 1;	0 / 1 = 0 ;  1 / 1 = 1 ;

Биринчи эсептөө системасынан башка эсептөө системасына которуу

Бир эсептөө системасынан башка эсептөө системасына которуу

2 ден 10 го	10 дон 8 ге	8 ден 2 ге
8 ден 10 го	10 дон 16 га	16 дан 2 ге
16 дан 10 го	2 ден 8 ге	8 ден 16 га
16 дан 8 ге	10 дон 2 ге	2 ден 16 га

Ушундай которууларды жасоого болот экен.

Кыскача бир таблицаны көрсөтө кетсек

Ондук	Экилик	Сегиздик	Он алтылык
1	001	1	1
2	010	2	2
3	011	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Экилик системадагы маанини ондук системага которуу үчүн, аны көп мүчө түрүндө жазып алып, анын тиешелүү разрядын экинин берилген даражасына көтөрүп арифметикалып амалдар менен таап алабыз.

Х₁₀= А_n·2^n-1 + А_n-1·2^n-2 + А_n-2·2^n-3 +…+А₂·2¹ + А₁·2⁰

Сегиздик системадагы маанини ондук системага которуу үчүн, аны көп мүчө түрүндө жазып алып, анын тиешелүү разрядын сегиздинберилген даражасына көтөрүп арифметикалып амалдар менен таап алабыз:

Х₁₀= А_n·8^n-1 + А_n-1·8^n-2 + А_n-2·8^n-3 +…+А₂·8¹ + А₁·8⁰

Он алтылык системадагы маанини ондук системага которуу үчүн, аны көп мүчө түрүндө жазып алып, анын тиешелүү разрядын он алтынын берилген даражасына көтөрүп арифметикалып амалдар менен таап алабыз:

Х₁₀= А_n·16^n-1 + А_n-1·16^n-2 + А_n-2·16^n-3 +…+А₂·16¹ + А₁·16⁰

Ондук эсептөө системасынан экилик эсептөөсистемасына которуу

Ондук системадагы сан маанисин экилик системага которуу үчүн ал сандын калдыгы 1 ге барабар болгонго чейин 2 ге бөлүү керектелет. Жыйынтыгында бөлгөндөн ашып калган калдыктарды аягынан башына карай жазып чыгабыз.

Мисалы: 22₁₀=10110₂ 

Ондук эсептөө системасынан сегиздик эсептөө системасы которуу

Ондук системадагы сан маанисин сегиздик системага которуу үчүн ал сандын калдыгы 7 ге барабар же аз болгонго чейин 8 ге бөлүү керектелет. Жыйынтыгында бөлгөндөн ашып калган калдыктарды аягынан башына карай жазып чыгабыз.                                                         

Мисалы: 571₁₀=1073₈

Ондук эсептөө системасынан он алтылык эсептөө системасына которуу

Ондук системадагы сан маанисин он алтылык системага которуу үчүн ал сандын калдыгы 15 ке барабар же аз болгонго чейин 16 га бөлүү керектелет. Жыйынтыгында бөлгөндөн ашып калган калдыктарды аягынан башына карай жазып чыгабыз.                                                             

Мисалы: 7467₁₀=1D2B₁₆

Экилик эсептөө системасы менен сегиздик эсептөө системасындагы которуулар

Экилик системадан сегиздик эсептөө системасына которуу үчүн ал экилик системада жазылган маанини сол жагынан баштап үч топко бөлүп алуу керек. Эгерде акырындагы топто үчкө жетпей калган болсо, анда 0 дөр менен толуктап коюу керек. Андан соң экилик-сегиздик таблицасына карап которууну аткаруу керек.

2-лик	000	001	010	011	100	101	110	111
8-дик	0	1	2	3	4	5	6	7

Мисалы катары 1001011₂ санын сегиздик эсептөө системасына которуу үчүн ал санды 001 001 011₂ = 113₈

Ал эми тескеринче сегизден экилик эсептөө системасына которуу үчүн ушул эле ыкманы колдонобуз

Мисалы катары 531₈ = 101 011 001₂

Экилик эсептөө системасы менен он алтылык эсептөө системасындагы которуулар

Эми экилик системадан он алтылык системага которуу үчүн, ал экилик системада жазылган маанини сол жагынан баштап төрт топко бөлүп алуу керек. Эгерже акырындагы топто төрткө жетпей калган болсо, анда 0 дөр менен толукап коюу керек. Андан соң дагы эле таблицанын жардамы менен эле оңой которуп алууга мүмкүн.

2- лик	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
16-лык	0	1	2	3	4	5	6	7
2- лик	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
16-лык	8	9	A	B	C	D	E	F

Мисалы катары 1011100011₂ санын он алтылык эсептөө системасына которуу үчүн ал санды 0010 1110 0011₂ = 2E3₁₆

Ал эми тескеринче он алтылык эсептөө системасынан экилик эсептөө системасына которуу үчүн ушул эле ыкманы колдонобуз

Мисалы катары ЕЕ8₁₆= 1110 1110 1000₂

Он алтылык эсептөө система менен сегиздик эсептөө системасындагы которуулар

Он алтылык менен сегиздик эсептөө системасында бири бирине которууда түздөн түз которууга мүмкүнчүлүк жок. Ошондуктан он алтылыктан сегиздик системага которууда мисалы, биринчи он алтылык системадагы маанини экиликке андан соң сегиздикке которсоңуз болот, же болбосо он алтылык системадагы маанини ондук системага андан соң сегиздикке которсоңуз болот.

Мисалы катары сегиздик системадагыны он алтылык эсептөө системасына которолу : 6635₈ = 110110011101₂=1101  1001 1101₂=D9D₁₆

         FEA₁₆=111111101010₂=111  111 101  010₂=7752₈

 Эсептөө системаларынын компьютерде жана информациялык технологиялардагы колдонулушу

Бизге колдонгон ондук система ЭЭМ үчүн ыңгайсыз болуп калды. Эгер механикалык эсептөө түзмөктөрдө ондук сандар аркылуу амалдар аткарылса, ЭЭМде экилик системаны колдонуу дагы туура келди. Реализацияланган эң жөнөкөй 2 абалдуу триггер элементтери болуп чыкты. Ошондуктан экилик системага өтүүгө туура келди , анткени системанын негизин 2 цифра түзөт. Бул системада болгону 2 цифра – 0 жана 1. Ар бир цифра экилик деп аталат(англ. binarydigit – экилик цифра). Бул сөз айкаштын кыскартуусу жаңы бит терминин жаратып,кийин экилик сандын разряды болуп калды.

Бит – бул маалыматтын эң кичинекей өлчөө бирдиги. Биттен кийин  байт келет(8 биттен турган), кийин килобайт(1024байт),мегабайт(1024кбайт), гигабайт(1024гбайт).

Информацияны компьютерде бинардык коддоосу

Маалымат алмашуу үчүн адамдар өз ара кадимки тилдерди колдонушат(кыргыз тили, орус тили ж.б.) б.а. адамга маалымат жөнөкөй тил аркылуу берилет.Тилдин негизинде алфавит жатат б.а.  адам түшүнүп билген символдордун жыйындысы. Алфавиттеги символдордун кезеги менен жайгашкан ирети тилдин негизги объектин түзөт. Бул – сөз. Сөздөр белгилүү эрежелерге ылайык сүйлөмдү түзүшөт. Эрежелер тилдин синтаксиси деп аталат. Тилдеги грамматика жана синтаксис көп деген эрежелерден түзүлүп чыккан.

Жөнөкөй биздин тилдин катарында формалдык тилдер да иштетип чыгарылган(алгебра тили, программалоо тили ж.б.) Негизги айырмасы болуп грамматиканын жана синтаксистин катуу эрежелери саналат. Бул тилдер амалдарды жөнөкөй кылуу максатында адамдар табабынан ойлоп табылган. Мисалы: бир нерсени санаш үчүн эсептөө системалары ойлоп табылган.

Биринчи компьютерлердин жаратуучулары маалыматты берүү жана кайра иштетүү масалесине дуушар болушту.Себеби, компьютер бул мээси жок жөнөкөй гана машина. Иштеп чыгуучуларга маалыматты компьютерге максималдуу жөнөкөй берүү ыкмасын табууга туура келди. Бизге колдонгон ондук система ЭЭМ үчүн ыңгайсыз болуп калды. Эгер механикалык эсептөө түзмөктөрдө ондук сандар аркылуу амалдар аткарылса, ЭЭМде экилик системаны колдонуу дагы туура келди. Реализацияланган эң жөнөкөй 2 абалдуу триггер элементтери болуп чыкты. Ошондуктан экилик системага өтүүгө туура келди , анткени системанын негизин 2 цифра түзөт. Бул системада болгону 2 цифра – 0 жана 1. Ар бир цифра экилик деп аталат(англ. binarydigit – экилик цифра). Бул сөз айкаштын кыскартуусу жаңы бит  терминин жаратып,кийин экилик сандын разряды болуп калды.

Бит – бул маалыматтын эң кичинекей өлчөө бирдиги. Биттен кийин  байт келет(8 биттен турган), кийин килобайт(1024байт),мегабайт(1024кбайт), гигабайт(1024гбайт).

Ушундан улам компьютерлерде маалымат берүү үчүн экилик( бинардык) коддоо колдонулат. Себеби так жана 100% туура иштешен техникалык түзмөктөрдү кыла алышты. Алар маалыматты сактап жана 2ден көп абалды тааныбаган түзмөктөр болду. Маалыматтардын баардык түрү машиналык тилде кодтолот, 0 жана 1 лердин логикалык иретинде.

Мисалы : А₂ =Т 11110000₂   саны ячейкада төмөнкүчө сакталат :

1

1

1

1

0

0

0

0

Демек, 0 - 255ке чейинки сандарды экилик системада 1  эс ячейкасында жаза алабыз .

Сандардын компьютерде көрүнүшү

Компьютерде бүтүн сандар эс уячасында сакталат, мындай учурда ар  бир эс уячасынын разрядына дайыма бир гана сандын разряды дал келет. Терс маанидеги эмес бүтүн санды сактоо үчүн 8 биттик  эс уячасы берилет.

Мисалы: 19₁₀  саны төмөнкүчө жазылат :

0

0

0

1

0

0

1

1

Белгиси бар (терс) бүтүн сандарды сактоо үчүн 2 эс уячасы бөлүнүп, 16 битти ээлейт. Жана улуу (сол) разряд сандын белгисине берилет(эгер сан оң болсо, белги разряды 0 деп жазылат, эгер терс болсо -1).

Мисалы : -98₁₀  саны төмөнкү көрүнүшкө ээ :

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

1

0

Компьютерде “белги-чоңдук” форматында сандарды көрсөтүү сандын түз коду деп аталат. Мисалы, 200210 = 11111010010₂ саны он алты разряддуулук көрүнүштө төмөнкүчө болот.

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

0

Терс сандарды чагылдырыш үчүн кошумча код  колдонулат.Для представления отрицательных чисел используется дополнительный код. Кошумчалык код арифметикалык кемитүү амалын кошуу амалына алмаштыра алат. Бул процессордун жумушун бир топ эле жеңилдетип, анын бат иштөөсүн камсыздайт. Кошумча код терс А санынын 0го чейинки модулюнун толуктоочусу.

2ⁿ -|А|+|А| =0

Анткени  2ⁿ =0.

Мындай кодтун түзүү  алгоритми жөнөкөй эле:

1. Түз коддо сандын модулюн жазуу.

2. Сандын тескери кодун алуу (б.а. бардык 0дорду 1лерге алмаштыруу жана 1лерди 0дорго).

3. Алынган жыйынтыкка 1ди кошуу.

Терс -2002 санынын  16 разряддык кошумча кодун жазалы :

Терс -16320 санынын 16 разряддык кошумча кодун жазалы :

Экилик кодтордун түзүү ыкмалары

60-жылдардан баштап компьютерлерди тексттик маалыматтар менен иштөө үчүн көбүрөөк колдоно баштады. Азыркы заманда да дуйнөнүн компьютерлеринин чоң бөлүгү тексттик маалымат менен иштөөдө колдонулат. Адатта бир символду коддоо үчүн 1 битке(8 байт) маалымат саны колдонулат. Эгерде символдорду мүмкүн болоорлук окуя катары карасак, бизге коддогонго мүмкүн болгон символдордун саны 256га барабар болот. Мындай символдордун саны бүтүн тексттик маалыматты жазганга жетерлик.(орус жана латин алфавиттеринин тамгалары, сандар ,тыныш белгилери, символдор ж.б.)

Бирок мындай код түзүү ыкмалары абдан көп, алардын кээ бирлерин карап өтсөк:

Алфавиттик бирдей эмес бинардык коддоо

Алфавиттик бинардык коддоо ыкмасында биринчи алфавиттин символдору(мисалы,орус тилинин) экинчи алфавиттин( б.а. 0 жана 1) символдорунун комбинациясы аркылуу коддолот. Жана алардын узундугу жана өзүнчө коддун берүүсүнүн узундугу айырмаланат.

Бирок билдирүүнүн жалпы узундугу аркылуу оптимизациялаштырса болот. Билдирүүнүн жалпы узундугу азыраак болушу мүмкүн, эгер төмөнкү ыкма колдонулса : канчалык биринчи алфавиттин тамгасы көп кезиксе, ага ыйгарылган код ошончолук узундугу боюнча кыска болот. Демек,  билдирүүдө канчалык биринчи алфавиттин  бир тамгасы көп кезиксе, ошончо аз элементардык сигналдардан аны түзүүгө болот. Бинардык коддоонун башка да варианттары да бар, бирок баары эле практикада колдонууга жарай бербейт. Эң маанилүүсү бул коддолгон билдирүүнү декоддоого мүмкүн болушу, б.а. 0 жана 1 лердин иретинде, тамгалардын белгиленишин анык айырмалай билүү.

Мисал катары орус алфавитинин символдору үчүн бинардык коддун түзүлүшүн карайлы :

Бөлгүчтөрү менен бирдей эмес коддоо

Билдирүүнү оңоюраак декоддоо үчүн бөлгүчтөрү менен код ойлонуп чыгарылган.

Бирдей декоддоого жетиш үчүн оңой жолу болуп анын арасына бөлгүчтөрдү киргизүү болду. Б.а. бир туруктуу экилик белгилеринин айкаштарын бөлгүчтөр катары колдонуу.

Өзүнчө коддордун бөлгүчү катары кийинки ирет болсун деп макулдашалы: 00(белгинин аягын билдирет) жана сөздөрдүн бөлгүчү катары – 000(сөздүн аягынын белгиси – боштук).

—Демек, төмөнкү кодордун түзүлүш эрежелеринин келип чыгышы шексиз:

—Белгинин аягын билдирген код(00) тамганын кодуна кире алат, анткени өзүнчө жазыла албайт.(б.а. ар бир тамганын коду 00 болуп аяктайт);

— Тамганын кодунда 2 же андан көп чогу жазылган 0дор жок болушу келет, себеби 00 белгинин аягы деп кабыл алынып калат;

— Тамганын коду(боштуктан башкасы) дайыма  1 ден башталышы керек;

—(000) сөз бөлгүчүнө дайыма (00)астына коюлат;

Ушундан улам 00000 ирети реалдаштырылат(б.а. эгер коддо 000 же 0000 ирети кезиксе, алар сөздөрдүн бөлгүчтөрү катары кабыл алынбайт); Демек, тамгалардын коддорунун аягы 0 жана 00 менен аяктала алат.

Аа бир 4 кодунун  берилилүү узактыгы төмөнкүчө аныкталат:

t_i = k_i • τ,

k_i – L символунун кодунда болгон элементардык сигналдардын (бит) саны.

Алфавиттик бирдей эмес бинардык коддоо. Префикстик код

Бирдей эмес бинардык коддоонун бир вариантын карап, кийинки суроолорго жооп табууга аракет кылалы: Бөлгүчтөрү кондонбой кодоо мүмкүнбү? Бирдей эмес бинардык коддоонун оптималдык ыкмасы барбы? Биринчи маселенин кыйынчылыгы билдирүүнүн декоддоосундагы ар бир белги үчүн бөлгүчтөрдү колдонбодон  жаңы ыкма табуу болуп эсептелет. Бул муктаждыкты канааттандырган код  болуп префикстик код келет. Префикстик код кийинки шартты акткарат(Фано шартын):

ииииииииииии

Эгер коддордун эч бири башка узунураак коддун башы менен дал(окшош болбосо) келбесе, бирдей эмес бинардык код оңой эле декоддоодон өтөт.

Мисалы, эгер ПО коду бизде болсо, биз 1,11,1101 ж.б. колдоно албай калабыз. Ал эми Фано шарты аткарылса, коддолдолгон билдирүүдөгү салыштырма аркылуу  коддун кайсы жерден бүтүп, кайсы жерден жаңы код башталганын айырмалай алат.

Мисалы: Бизде префикстик коддордун төмөнкү таблицасы болсун:

а	л	м	р	у	ы
10	010	00	11	0110	0111

00100010000111010101110000110 билдирүүсүн декоддо талап кылынат. Декоддоо төмөнкү циклдик кайталоо иш-аракеттери аркылуу ишке ашат:

1.     Берилген билдирүүнүн четки сол символун кесип алып, иштетүүчү коддук сөзгө кошуу ;

2. Коддук сөздү коддук таблица менен салыштырып; эгер окшоштук жок болсо, 1.ге жөнөтүү;

3. Иштетүүчү коддук сөздү декоддооо, аны өчүрүү;

4. Билдирүүдө дагы белгилер болуп болбогондугун текшерип, эгер бар болсо 1.ге жөнөтүү

Бул алгоритм төмөнкүнү берет:

Кадам	Иштетүүчү сөз	Билдирүү	Таанылган белги	Декоддолгон билдирүу
0	боштук	00100010000111010101110000110	-	-
1	0	0100010000111010101110000110	жок	-
2	00	100010000111010101110000110	м	М
3	1	00010000111010101110000110	нет	М
4	10	0010000111010101110000110	а	МА
5	0	010000111010101110000110	нет	МА
6	00	10000111010101110000110	м	Мам
• • •

Операцияны аягы чейин аткары биз”мама мыла раму” билдирүүсүн алабыз

Хаффмандын коду

Оптималдык префиксттик бинардык коддоо ыкмасы Д.Хаффман тарабынан сунушталган.

Хаффмандын кодунун түзүлүшү кийинки мисалда карайлы: Бизде биринчи А алфавити болсун дейли, ал алты белгиден тузүлсүн( a₁ …а₆ ). Белгилердин билдирүүдө кезигүү ыктымалдуулугу 0,3; 0,2; 0,2; 0,15; 0,1; 0,05 болсун. Ошондой эле А_b  жардамчы алфавитин түзөлү , алда (а₅ и а₆ ) белгилеринин кезигүү ыктымалдуулугун кошуп а⁽¹⁾ белгисине алмаштыралы. Ошондо  а⁽¹⁾ белгисинин кезигүү ыктымалдыгы 0,15ке барабар болот; калган А алфавитинин белгилерин жаңы алфавитке өзгөрмөсүз киргизели; жаңы алфавиттеги  белгилердин саны баштапкы алфавитке салыштырмалуу бирге аз болору анык. Аналогиялык ыкма боюнча жаңы алфавиттерди түзө берели. Сонунда акыркы таблицада болгону 2 белги калат. Мындай кадамдардын саны N – 2 болору белгилүү. N – бул баштапкы алфавиттеги белгилердин саны ( биздин учурда N =6, кошумча алфавиттердин саны 4). Арадагы алфавиттерде белгилердин кезигүү ыктымалдуулугун  азайычуу түрүндө жазалы. Баардык түзүү процедурасын таблица жүзүндө жазалы:

Эми  коддоо процедурасын тескери багытта өткөрөлү. Акыркы алфавиттин 2 белгисине 0 жана 1 коддорун ыйгаралы(жогору белги 0, төмөнкүсү 1 болсун). Биздин  А⁽⁴⁾ алфавиттеги а₁ ⁽⁴⁾ белгисине 0, а₂ ⁽⁴⁾ белгисине 1 ыйгарылды. A⁽³⁾ алфавитиндеги 0,4 кезигүү ыктымалдылыгы бар а₁ ⁽³⁾ белгиси өзүнүн (1) кодун сактап калат, ошондой эле a₂ ⁽³⁾ жана a₃ ⁽³⁾ белгилери эки орундуу болуп калат да, бул белгилер ( a₂ ⁽³⁾ жана a₃ ⁽³⁾ ) кошулуп a₁ ⁽⁴⁾  белгисине 0,6га барабар болгон кезигүү ыктымалдыгын берет. Толук коддоо процедурасы төмөнкү таблицада берилген:

Кодду түзүү процедурасынан Фано шартына ылайык экендигин оңой эле байкоого болот. Демек бөлгүчтөргө муктаждык да жок. Жана коддун орто узундугу : К⁽²⁾ = 0,3-2+0,2-2+0,2-2+0,15-3+0,1-4+0,05-4 = 2,45 ке барабар болуп калат. Салыштыруу үчүн I₁ ^{ A ) дин узундугун тапсак ал 2,409 га болот.

Теория жагынан, Хаффмандын коду чоң мманиге ээ. Себеби ал мүмкүн  болгон коддордун арасында эң үнөмдүүсү. Кандай гана алфавиттик коддоо ыкмасын колдонулбасын, ал коддун узундугу Хаффмандын кодунан кичине боло албайт.

Оптималдык бирдей эмес алфавиттик коддоо ыкмасы бар деп жыйынтыктасак болот. Хаффмандын ыкмасы жана анын модификациясы – ылайыкташуу коддоо( Хаффмандын динамикалык коддоосу) – көп тармактарда колдонуу ордун алды. Мисалы:  архиватор-программаларда, файлдарды жана дисктерди резервдик көчүрүү программаларда, маалыматты кысуу системаларда ж.б.

Бирдей алфавиттик бинардык коддоо. Байттык код

Бул учурда биринчи  алфавиттин бинардык коду бирдей узундуктагы чынжырлар менен түзүлөт б.а. бардык белгилер менен бирдей маалыматтын көлөмү (1₀ )байланат. Белгинин аягынын белгилеп берүү кереги жок, анткени коддук чынжырдын узундугун табуу үчүн  К⁽²⁾ > log₂ N формуласын колдоно алабыз. Кабыл алуучу түзмөк жөн гана алдын ала айтылган элементардык сигналдардын санын санайт жана чынжырды интерпретациялайт. (кайсы белгиге дал келгенин аныктайт). Бирок бул ыкмада бузулуулар кабыл алынгыс, себеби бир элементардык сигналдык окулбай калышы туура эмес интерпретация алып келет; бул маселе берилүү синхронизациялашуунун жардамы менен чечилет. Башка жагынан бирдей бинардык коддоонун колдонулушу маалыматты туура берилүүсүн текшерүү үчүн колдонулат. Себеби башка сигналдын же толук эмес коддун аныкталышы заматта катаны чыгарып берет.

Мисал:

Символ	Код
А	00000001
Б	00000010
В	00000011
Г	00000100
Д	00000101
Е	00000110
Ё	00000111
Ж	00001000

Жыйынтыктоо

Кандай эсептөө системада сандарды жазыш – бул адат жана ыңгайлыктын суроосу. Техникалык көз караштан ,ЭЭМ үчүн экилик системасын колдонуу ыңгайлуу. Анткени санды жазыш 2 гана цифра цифра колдонулат.(0-сигнал жок, 1-сигнал бар)

”Эсептөө системалары”темасын изилдөөдө биз тарыхый анализ жүргүзгөнгө мүмкүнчүлүк алып, ар кандай сандын жазылыш формаларын карап, материалды систематизациялаштырып, өзүбүзгө ар түрдүү колдонуу спектирлерин чыгардык.

Бизди ар кандай эсептөө системалары курчап турат. Өзүбүз байкабастан ондук системаны эле эмес,он экилик системаны да колдонот экенбиз. Мисалы убакытты билгибиз келгенде.

Азыркы учурда эсептөө системалары электрондук эсептөө техникаларда кеңири колдонууда. Көптөгөн  коддор жана шифрлер алардын негизинде ойлоп табылган.

Изилдөө жүрүшүндө:

—эсептөө системалардын тарыхын жана өнүгүүсүн изилдедик,

— практикалык материалды изилдедик,

—Колдонуу тармактарын жана теманын актуалдуулугун караштырдык.

Биз аркылуу чечилген маселелер:

— Ар кандай системалардагы арифметикалык амалдарар,

—Бир системадан башка системага которуу.

Колдонулган адабияттар

1. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для студентов-заочников II курса физ.-мат. фак. пед. ин-тов (Н.А.Казачёк и др.) / Под ред. Н.Я. Виленкина - 2-е изд. М.: Просвещение, 1984. - 192 с.

2. Бендукидзе А.Д. О системах счисления // Квант - 1975 - №8 - с 59-61.

3.Берман Г.Н. Число и наука о нем. Общедоступные очерки по арифметики натуральных чисел. Изд. 3-е. М.: Физматгиз, 1960. - 164с.

4. Вайман А.А. Шумеро-вавилонская математика. III - I тысячелетия до н.э. М.: Изд. вост. лит., 1961. - 278с.

5. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. Изд. 2-е, испр. идоп. М.: Наука, 1967. - 367 с.

6. Глейзер Г.И. История арифметике в школе Archived 2017-12-04 at the Wayback Machine: IV - VI кл. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981. - 239 с.

7. Гутер Р.С. Вычислительные машины и системы счисления // Квант-1971 -№2.

8. Депман И.Я. История арифметики, пособие для учителей. М.: Учпедгиз, 1959.-423с.

9. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк. М.: Просвещение, 1989. -287с.

10. Детская энциклопедия: [В 10-ти т.] Для среднего и старшего возраста. Гл.ред. Маркушевич А.И. Т.2. - Мир небесных тел; Числа и фигуры. -М.: Педагогика, 1972. - 480 с.

11. И. Дышинский Е.А. Игротека математического кружка. М.: Просвещение, 1972. - 144 с.